「問：n個の要素からなる集合の部分集合は全部で2^n個あることを示せ hatoriさんヒント」の読解
>恐らく"サブクエスト"に時間がかかりすぎるのは不本意だと思うので、なるべくさんのやろうとしている方法に従いつつ解答(の一歩手前)を考えてみました
> （注意：これが唯一の証明方法あるいは最も簡単な証明方法というわけではありません。たぶん）
他にも証明方法があるらしい
そんな感じです
> 用語の定義１：与えられた集合Aの部分集合全体を\mathfrak{P}(A)と表し、Aの冪集合と呼ぶ
> \mathfrak{P}(A)は集合の集合です
> \mathfrak{P}はPower setの頭文字Pのフラクトゥール
>冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。
うーむ…
例だ、例を出すんだ…
集合Aがあるとする
A=\{1,2\}
Aの部分集合の全体は以下
\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}
これを全体として新しく作り出される集合を冪集合という
カッコの中をどう書くか？
>A=\{a,b\} のべき集合は
> 2^A = \Bigl\{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\Bigr\}
> である。
なるほど
\mathfrak{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}
では集合Bがあるとしてその冪集合\mathfrak{P}(B)はどうなるか？
B=\{0,1,2\}
Bの部分集合は
\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{1,2\},\{0,2\},\{0,1,2\}
8つ
\mathfrak{P}(B)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{1,2\},\{0,2\},\{0,1,2\}\}
冪集合と書き方はだいたいわかった
> \#Aや\mathrm{card}(A)とも表す
例
A=\{1,2\}のとき、|A|=2
B=\{0,1,2\}のとき、|B|=3
\mathfrak{P}(A)は？
\mathfrak{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}
要素は4つ
|\mathfrak{P}(A)|=4
では\mathfrak{P}(B)の場合は？
\mathfrak{P}(B)=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{1,2\},\{0,2\},\{0,1,2\}\}
|\mathfrak{P}(B)|=8
ここもよし
これは互いに素 (集合)のことだろうか
互いに素 (集合) ←(集合)なんてつけてたっけ？>二つの整数 a, b が互いに素（たがいにそ、英: coprime, relatively prime, prime to）であるとは、a, b を共に割り切る正の整数が 1 のみであることをいう。このことは a, b の最大公約数 gcd(a, b) が 1 であることと同値である。
ﾌﾑｰ
AとBは共通部分を持たない
ここまで用語の定義
X_{3}=\{1,2,3\}における例
> いまX_{3}=\{1,2,3\}とおき、|\mathfrak{P}(X_{3})|=2^{3}となることを示します
はい
> /villagepump/問：n個の要素からなる集合の部分集合は全部で2^n個あることを示せ#638f53415e90c00000a5ac3cの例に従って集合A \in \mathfrak{P}(X_{3})を要素の個数で分類します（いま|X_{3}|=3より、0 \le |A| \le 3であることに注意）
要素の個数で分類する。はい
0個、1個、2個、3個の4つに分類するんだな
0個の場合
> |A|=0の場合：A = \emptyset
|A|の個数が0なら、A=\emptyset
>\{\}空集合
どうでもいいけど\emptysetをemptyって表現するのぴったりだな(?)
空家事件(The Empty House)思い出す
> 3つの相異なるものから何も選ばない方法は{}_{3}\mathrm{C}_{0}通り
はい
問：n個の要素からなる集合の部分集合は全部で2^n個あることを示せで_n\mathrm{C}_rはどうやって出したかな（おさらい）
順列を出して考えるんだったな
_{n}\mathrm{C}_{m}=\frac{_{n}\mathrm{P}_{m}}{_{m}\mathrm{P}_{m}}
{}_{n}\mathrm{P}_{m}=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}
今回は{}_{3}\mathrm{C}_{0}なので
_{3}\mathrm{C}_{0}=\frac{_{3}\mathrm{P}_{0}}{_{0}\mathrm{P}_{0}}
0の階乗は1と定義する
0!=1
ここが掴めてないんだなー
0個選ぶっていうのが現実の事項と結びついてしまってる
_{3}\mathrm{P}_{0}ってどうやって計算するの？？となっている
_{3}\mathrm{P}_{1}ならわかる
_{3}\mathrm{P}_{1}=\frac{3!}{(3-1)!}=\frac{3!}{2!}=\frac{3\times2}{2\times1}=3
おっと？それなら
_{3}\mathrm{P}_{0}=\frac{3!}{(3-0)!}=\frac{3!}{3!}=\frac{3\times2\times1}{3\times2\times1}=1
ということは
_{0}\mathrm{P}_{0}=\frac{0!}{(0-0)!}=\frac{0!}{0!}=\frac{1}{1}=1
できた！
_{3}\mathrm{C}_{0}=\frac{_{3}\mathrm{P}_{0}}{_{0}\mathrm{P}_{0}}=\frac{1}{1}=1
1通りだ！
> よって|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=0\}|={}_{3}\mathrm{C}_{0}
ここのコロン
; の使い方は一体…？これまだ出てないんだよな……
一回論理と集合から始める数学の基礎に戻って出てくるまでやるか
突如ポップしたサブクエストをクリアするためのヒントを解くための鍵がメインクエストにあることがわかった
そうでもなかった
回帰した
この
; は単なる区切りのつもりで使っているので、数学的な意味はないです記号が紛らわしくてすみません
集合の中では
| 、 \mid あるいは : を使って区切るのが正当な記法だと思いますありがとうございます～
\landじゃだめなんかな
こっちのほうが情報がある気がする
これでも意味は通りますが、あまり見かけない書き方かも...
\{a\in A|P(a)\}:=\{a|a\in A\land P(a)\}だから、\{a\in A\land P(a)\}だと意味が通らなそう
一つの論理式Q:\iff a\in A\land P(a)を元とする集合\{Q\}と誤解されかねない
たし🦀
「意味は通る」＝「多少表記が不正確だけれど、それは私の脳内で適当に修正可能であり言わんとすることは分かります」というニュアンスで書いていた
じゃあもどって…
>|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=0\}|={}_{3}\mathrm{C}_{0}
|A|は有限集合Aの要素の個数
用語の定義2を参照
その中に\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=0\}が入ってる
(しばらく更新が無かったので、要らないかもしれませんが助け舟(?)を出します)
助け舟ありがとうございます！
本編の方に戻ってうろうろしてました
突如スン…となって別の方で遊んでいることが多く、申し訳無いです
;が内包記法の|と同じ役割をしているという理解はしています
したがって|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=0\}|=|\{\emptyset\}|=1={}_{3}\mathrm{C}_{0} \; \cdots \clubsuit
ちょっと脱線しますが「3つの相異なるものから何も選ばない方法は{}_{3}\mathrm{C}_{0}通り」という文は、あくまで上式\clubsuitの解釈のひとつです
次のように解釈し直せばより日常的な感覚に近いため、腑に落ちるかもしれません
「取り出すものを選ぶ＝取り出さないものを選ぶ」という発想の転換から、今の場合「3つの相異なるものから取り出さないものを3つ選ぶ方法は{}_{3}\mathrm{C}_{3}通り」と考えても正しい値が得られます
この解釈で一般に{}_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}となることも示せます（階乗で表せば自明ですが）
> |A|=1の場合：A \in \{\{1\},\{2\},\{3\}\}
> 3つの相異なるものから1つのものを選ぶ方法は{}_{3}\mathrm{C}_{1}通り
> よって|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=1\}|={}_{3}\mathrm{C}_{1}
> |A|=2の場合：A \in \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}
> 3つの相異なるものから2つのものを選ぶ方法は{}_{3}\mathrm{C}_{2}通り
> よって|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=2\}|={}_{3}\mathrm{C}_{2}
> |A|=3の場合：A =\{1,2,3\}
> 3つの相異なるものから3つのものを選ぶ方法は{}_{3}\mathrm{C}_{3}通り
> よって|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=3\}|={}_{3}\mathrm{C}_{3}
> したがって（一般のnに対して書く際は分解を具体的に書かなくても良いですが、今は例を扱っているため丁寧に書くと）
> \begin{aligned}\mathfrak{P}(X_{3})&=\{\emptyset\}\sqcup \{\{1\},\{2\},\{3\}\} \sqcup \{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\} \sqcup \{\{1,2,3\}\} \\ &=\bigsqcup_{m=0}^{3}\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=m\}\end{aligned}
> となり（|A\sqcup B|=|A|+|B|に注意して）
> |\mathfrak{P}(X_{3})|=\sum_{m=0}^{3}|\{A\in\mathfrak{P}(X_{3}) ; |A|=m\}|=\sum_{m=0}^{3}{}_{3}\mathrm{C}_{m}
> を得ます。最後の和は二項定理の具体例\sum_{m=0}^{3}{}_{3}\mathrm{C}_{m}x^{m}=(1+x)^{3}でx=1とおけば2^{3}になることが分かります
> 以上の例における3をnに変えて全体を良い感じに書き直すと、一般の場合の証明になります